Last updated: December 2008. Kajiyama             [ 目次に戻る ]

ねじれの2直線の共通垂線のCAD作図


  1. ねじれの位置にある2本の直線の最短距離を求めよ.また2本パイプをつなぐ最短距離のパイプを描け.


    「ねじれの2直線の共通垂線問題 (図学・初等の立体幾何学)」は,「鈴木教授のCAD問題」とも呼ばれている.

    2本の直線が平行でなく,また交点を持たない場合を,「2本の直線はねじれの位置にある」という.

    復習: 同じ平面上にある2直線は,平行か交点を持つ状態にある.

    言い換えると,2本の直線が平行ならば,この2本の直線は同一平面上にあり,

    2本の直線がその線上で交わるならば,この2本の直線は同一平面上にある.

    同じ平面上にない2本の直線は,平行でもなく,けして交わらない.

    パイプ配管,高速道路,航空路では設計する2直線間の最短距離に注意が必要になる.

    「同一平面上にない2本の直線の最短距離を求める」,あるいは「同一平面上にない2本の直線の共通な垂線を求める」問題である.


     


  2. ねじれの2直線の共通垂線問題の解き方

    同一平面上にない2本の直線を線分AB,線分CDとする.線分CDを含み,線分ABと平行な平面Pを作成し,線分ABと線分CDの共通な垂線を探す. 具体的には,

    1. 線分ABに平行な直線で,線分CD上の点Eを通る線分FGを描く.

    2. 線分CD上と線分FGを含む平面αを作る.この平面は線分ABと平行である.

    3. 線分ABのA点B点から平面αに垂線を下ろす.それぞれの交点をA',B'とする.線分A'B'は,線分ABの平面αへの正投影図である.

    4. 線分A'B'と線分CDの交点をHとする.点Hから垂線を上げ,線分ABとの交点をIとする.

    5. 直線HIは線分ABと線分CDの共通な垂線となる.また直線HIは,2本の直線の最短距離である.


     


  3. 3DCADでねじれの2直線の共通垂線問題を解く

      「目的」 線分CDを含み,線分ABと平行な平面Pを作成し,線分ABと線分CDの共通な垂線を探す.


    1. 「移動/コピー」を使用し,線分ABに平行な直線で,線分CD上の点Eを通る線分FGを描く.
    2. 頂点DFを結び,線分ABに平行な平面DEFを作成する.


    3. 「分度器」を使用し,平面DEF上で,点Eから線分FGと直角なガイドを作図する.


    4. 「軸」を使用し,点Eを原点とし,線分FGを赤い軸そして直角なガイドを緑の軸とする新しい座標軸を作成する.


    5. 赤い軸上と緑の軸上とに点を結び,線分ABに平行な平面DEFを拡大する.この平面をαとする.


    6. 線分ABの両端からこの平面αに垂線を下ろし,その足をA',B'とし,線分A'B'を作図する. 線分A'B'は平面αを投影面とする線分ABの正投影図である.


    7. 線分AB平行な線分A'B'と線分FGの交点をHとする.Hから垂線を上げの線分ABとの交点をIとする.
      直線HIは線分ABと線分FGに垂直な直線である.

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