Last updated: December 2012 -January 2010. Kajiyama                    [ 目次に戻る ]

datasets"ToothGrowth"による,サプリメントによるモルモットの歯の成長

くり返しのある二元配置の実験データを分散分析

(因子Aに対応なしX因子Bに対応なし・標本数は同じ) (多重比較・交互作用あり)


  1. サプリメント 「くり返しがあり標本数は同じ」の場合の課題

    くり返しがある二元配置のデータを分散分析することは,

    総変動から,因子A,因子Bによる変動と交互作用AXBによる変動と誤差変動を分離して,測定値への影響を検討することである.



    モルモットにサプリメントを与え歯の長さを検討した.サプリメントの種類(因子supp)はオレンジジュース(OJ)とビタミンC(VC)の2水準である.

    与えるサプリメントの量(因子doss)は,0.5mg,1.0mg,2.0mgの3水準である.

    実験は,サプリメントの種類(因子A 2水準)とサプリメントの量(因子B 3水準)の各水準を組み合わせた6組の条件に対して各10匹のモルモットで行う.

    サプリメントの種類間で,また,サプリメントの量間で歯の成長に差があるか,2因子の交互作用はあるかを検討する.

    表1 サプリメントの種類と与える量(mg)によるモルモットの歯の成長
    測定のくり返しは10回

     
    因子A supp
    水準A1 VC
    (Vitamin C)
    水準A2 OJ
    (orange juice)


    B
     
    d
    o
    s
    e
    水準B1 0.5 実験1
    10例
    実験2
    10例
    水準B2 1.0 実験3
    10例
    実験4
    10例
    水準B3 2.0 実験5
    10例
    実験6
    10例

    このデータセット"ToothGrowth"はすでにRに組み込まれている.
    > ? ToothGrowth
    # データセット解説 The Effect of Vitamin C on Tooth Growth in Guinea Pigs

    60匹のモルモットを使用.A data frame with 60 guinea pigs on 3 variables.
    測定値:歯の長さ len numeric Tooth length
    因子A:与えたサプリメント supp factor Supplement type (VC or OJ).
    因子B:サプリメントの量 dose numeric Dose in milligrams.
    表2 サプリメントの種類と与える量(mg)によるモルモットの歯の成長
    「アンスタック形式」


    因子A supp 水準A1
    VC(Vitamin C)
    水準A2
    OJ(orange juice)
    因子B
    dose
    水準B1
    0.5
    水準B2
    1.0
    水準B3
    2.0
    水準B1
    0.5
    水準B2
    1.0
    水準B3
    2.0
    len
    サンプル1
               
    サンプル2            
    ・・・            
    サンプル10            


  2. サプリメント Rに「スタック形式」のデータを読み込み,データの確認を行う


    表3 サプリメントの種類と与える量(mg)
    によるモルモットの歯の成長
    「スタック形式」


        len supp dose
    1   4.2   VC  0.5
    2  11.5   VC  0.5
    3   7.3   VC  0.5
    4   5.8   VC  0.5
    5   6.4   VC  0.5
    6  10.0   VC  0.5
    7  11.2   VC  0.5
    8  11.2   VC  0.5
    9   5.2   VC  0.5
    10  7.0   VC  0.5
    11 16.5   VC  1.0
    12 16.5   VC  1.0
    13 15.2   VC  1.0
    14 17.3   VC  1.0
    15 22.5   VC  1.0
    16 17.3   VC  1.0
    17 13.6   VC  1.0
    18 14.5   VC  1.0
    19 18.8   VC  1.0
    20 15.5   VC  1.0
    21 23.6   VC  2.0
    22 18.5   VC  2.0
    23 33.9   VC  2.0
    24 25.5   VC  2.0
    25 26.4   VC  2.0
    26 32.5   VC  2.0
    27 26.7   VC  2.0
    28 21.5   VC  2.0
    29 23.3   VC  2.0
    30 29.5   VC  2.0
    31 15.2   OJ  0.5
    32 21.5   OJ  0.5
    33 17.6   OJ  0.5
    34  9.7   OJ  0.5
    35 14.5   OJ  0.5
    36 10.0   OJ  0.5
    37  8.2   OJ  0.5
    38  9.4   OJ  0.5
    39 16.5   OJ  0.5
    40  9.7   OJ  0.5
    41 19.7   OJ  1.0
    42 23.3   OJ  1.0
    43 23.6   OJ  1.0
    44 26.4   OJ  1.0
    45 20.0   OJ  1.0
    46 25.2   OJ  1.0
    47 25.8   OJ  1.0
    48 21.2   OJ  1.0
    49 14.5   OJ  1.0
    50 27.3   OJ  1.0
    51 25.5   OJ  2.0
    52 26.4   OJ  2.0
    53 22.4   OJ  2.0
    54 24.5   OJ  2.0
    55 24.8   OJ  2.0
    56 30.9   OJ  2.0
    57 26.4   OJ  2.0
    58 27.3   OJ  2.0
    59 29.4   OJ  2.0
    60 23.0   OJ  2.0
    
    (1) 「スタック形式」での操作の手順



    > x <- read.table ("clipboard", header=TRUE )
    > x 
        len supp dose
    1   4.2   VC  0.5
    2  11.5   VC  0.5
    3   7.3   VC  0.5
    4   5.8   VC  0.5
     ・・・・・・
    57 26.4   OJ  2.0
    58 27.3   OJ  2.0
    59 29.4   OJ  2.0
    60 23.0   OJ  2.0
    
    > str (x) 
    'data.frame':   60 obs. of  3 variables:
     $ len : num  4.2 11.5 7.3 5.8 6.4 10 11.2 11.2 5.2 7 ...
     $ supp: Factor w/ 2 levels "OJ","VC": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
     $ dose: num  0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ...
    
    > x$dose <- factor( x$dose )
    


    (2) データフレームの読み込み

    ここでは,表シートあるいはエクセルの表計算シートからクリップボード経由で読み込む操作を行う.

    表3 サプリメントの種類と与える量(mg)によるモルモットの歯の成長 「スタック形式」の緑の部分をマウスで選択し,これをコピーする.

    次に,Rの「コンソール」画面に,

    x <- read.table ("clipboard", header=TRUE

    と記述し,コピーした[clipboard]データファイルを,Rの内部のデータフレーム,ファイル名x に直接読み込む.

    header=TRUE は第1行が列の変数名になっていることを指示している.

    ) #    データをコピーした後で,カッコを入力する.ENTERーキーを押す.


    (3) 読み込んだデータフレームの確認

    x      と記述し,Rの内部に作成したデータフレーム x を,表示し確認する.


    (4) データフレームの構造確認

    str (x)   と記述し,Rの内部のデータフレーム x の3変数の内容を表示確認する.

    Rが理解した,サンプル・分析値・水準の3変数名のリストと変数ごとのカテゴリの数とカテゴリ名が示される.

    ・分析で使用する変数名とカテゴリ名はRが理解した名前を使用する.


    注意: 因子のsuppとdoseのデータ形式が [Factor] 形式でないときは,

    x$dose <- factor( x$dose )

    x$supp <- factor( x$supp )   と記述し,データフレームの水準の変数を[Facter]形式に変更する.


  3. 1因子ごとの基礎統計


    a. 因子AB別の基礎統計量

    Rの「コンソール」画面に,

    by ( x$len, x$supp, summary)

    by ( x$len, x$dose, summary) #   と記述し,「スタック形式」のデータで,群別の基礎統計利用を計算する.


    b. 因子AB別の平均値の推移図    # plotMeans関数を使用するにはパッケージ 「Rcmdr」を読み込んでおくこと

    plotMeans( x$len, x$supp, error.bars="se")

    plotMeans( x$len, x$dose, error.bars="se")

    require(graphics)

    coplot(len ~ dose | supp, data = ToothGrowth, panel = panel.smooth, xlab = "ToothGrowth data: length vs dose, given type of supplement" )


    と記述し,因子(supp, dose)ごとのlenの平均値の推移図を表示する.

    c. グラフの観察

    suppサプリメントの種類の違いは平均値の差に影響を与え,dose与える量の違いは平均値の差に影響を与えるようだ.

    これらの推理が可能かを分散分析で検定する.



  4. 2因子間の基礎統計 2因子間AXBの交互作用の可能性検討


    a. 2因子間AXBの平均値の推移図の作成    # plotMeans関数を使用するにはパッケージ 「Rcmdr」を読み込んでおくこと

    どの因子間の水準の組み合わせの時に,歯が長くなるかを観察する.


    plotMeans( x$len, x$supp, x$dose, error.bars="se")

    plotMeans( x$len, x$dose, x$supp, error.bars="se") #  軸を変えてみる

    b. グラフの観察

    折れ線が互いに交差するsuppXdoseのグラフからは,2mgの水準で因子間の交互作用があると推理できる.

    OJ 2mgの時,思ったような歯の伸びが無かった.

    これらの推理が可能かを分散分析で検定する.



  5.  バートレット(Bartlett)の検定--分散の等質性(等分散性)の検定


    分散分析は,分散が等しいという仮定の上で構築されているので標本の測定値にもとづいて分散が一様であるか検討する.

    ただし,分散分析のF検定はその前提条件が崩れても,検定結果は信頼できるといわれている.

    成型温度の4水準の分散が等しいか,あるいは等しくないかを検定する.4水準のデータの分散は等質であるとの帰無仮説を立てる.

    Rの「コンソール」画面に,

    bartlett.test ( x$len ~ x$supp )

    bartlett.test ( x$len ~ x$dose )

    と記述し,「スタック形式」のデータで,分散の等質性の検定を行う.

    バートレットの検定は水準ごとの標本の数が同じでない場合も使用できる.

    p値が0.05以下のときに水準の分散は等しくないと結論する.


    > bartlett.test ( x$len ~ x$supp )
    
            Bartlett test of homogeneity of variances
    
    data:  x$len by x$supp 
    Bartlett's K-squared = 1.4217, df = 1, p-value = 0.2331
    
    
    > bartlett.test ( x$len ~ x$dose )
    
            Bartlett test of homogeneity of variances
    
    data:  x$len by x$dose 
    Bartlett's K-squared = 0.6655, df = 2, p-value = 0.717
    

    分析結果

    supp因子とdose因子はいずれもp値>.05であるので帰無仮説が採択され,2つの因子の各水準の分散は等しいとする.



  6. サプリメント 「因子Aに対応なしX因子Bに対応な・標本数は同じ」 aov関数による二元配置分散分析


    2種類のsupp間(因子A)でlenに差があるか,また,3種類のdose間(因子B)でlenに差があるか,

    そして,因子間の交互作用AXBがあるかを有意水準5%で検討する.

    帰無仮説は「各水準の母集団の平均値は等しい」.

    対立仮説は,「全ての水準の組み合わせに平均値の差がある」のでなく,「各水準の少なくとも一組に平均値の差がある」.



    Rの「コンソール」画面に,

    summary ( aov ( len ~ supp * dose, data=x ) )

    と記述し,「スタック形式」のデータで,「繰り返しがある二元配置の分散分析」を行う.

    > summary ( aov ( len ~ supp * dose, data=x ) )
                Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
    supp         1  205.35  205.35  15.572 0.0002312 ***
    dose         2 2426.43 1213.22  92.000 < 2.2e-16 ***
    supp:dose    2  108.32   54.16   4.107 0.0218603 *  
    Residuals   54  712.11   13.19                      
    ---
    Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
    
    分散分析表が表示される.これを整形すると,以下のようになる.
    --------------------------------------------------------------------------               (変動) (不偏分散) (分散比) 変動要因       自由度 平方和 平均平方和 F値 P値 -------------------------------------------------------------------------- サプリメントの種類 1 205.35 205.35 15.572 0.000 *** サプリメントの量 2 2426.43 1213.22 92.000 0.000 *** 種類X量 2 108.32 54.16 4.107 0.022 * 誤差 54 712.11 13.19 -------------------------------------------------------------------------- *** p<.001 ** p<.01 * p<.05 . p<.1
    分析結果

    有意水準5%で検定を行ったところ,

    (1) 種類X量の交互作用はP値<.05であるから帰無仮説を棄却する.すなわち種類と量の交互作用による差はあるとする.

    (2) 種類の差においてはP値<.05であるから,帰無仮説は棄却する.すなわちサプリメントの種類による差はあるとする.

    (3) 量の差においてはP値<.05であるから帰無仮説を棄却する.すなわちサプリメントの量による差はあるとする.

    もしも,交互作用が無ければビタミンCよりオレンジジュースが効果があるといえる.

    が,交互作用があるので量が2mgになると,ビタミンCよりオレンジジュースが効果があるといえなくなる.多重比較で検討する.



  7. サプリメント 「交互作用あり・因子Aに対応なしX因子Bに対応なし・標本数は同じ」の二元配置の多重比較



    二元配置で交互作用がなければ,因子A・因子Bについて多重比較を検討すればよい.交互作用があれば,因子A・因子B の多重比較は不要になる.

    suppXdoseの種類と量の交互作用が測定値に影響を与えている.

    どの水準のサプリメントの種類と量の組み合わせが歯の成長に効果的かを知りたくなる.このための多重比較の事後検定(下位検定)を行う.

    交互作用がある場合,因子Aあるいは因子Bが有意であっても,交互作用の影響を受けているので,

    因子Aだけあるいは因子Bだけの解釈が限定的なものになる.

    したがって,因子Aあるいは因子Bの多重比較はしなくてよいことになる.場合がある.



    1. 交互作用検討のためのデータフレームの作成 NO1


      サプリメントの種類の量のどの組み合わせが歯の成長に効果的であるかを検討するために,二元配置の表2を一元配置の表4に変換する.


      表2 サプリメントの種類と与える量(mg)による
      モルモットの歯の成長 「アンスタック形式」


      因子A supp 水準A1
      VC(Vitamin C)
      水準A2
      OJ(orange juice)
      因子B
      dose
      水準B1
      0.5
      水準B2
      1.0
      水準B3
      2.0
      水準B1
      0.5
      水準B2
      1.0
      水準B3
      2.0
      len
      サンプル1
                 
      サンプル2            
      ・・・            
      サンプル10            
      表4 サプリメントの種類と与える量(mg)による
      モルモットの歯の成長 「アンスタック形式」


      因子C

      suppXdose
      水準C1
      VC0.5
      水準C2
      VC1.0
      水準C3
      VC2.0
      水準C4
      OJ0.5
      水準C5
      OJ1.0
      水準C6
      OJ2.0
      len
      サンプル1
                 
      サンプル2            
      ・・・            
      ・・・            
      サンプル10            


      表5 サプリメントの種類と量(mg)の
      組み合わせとモルモットの歯の成長
       「スタック形式」


          len supp dose     C
      1   4.2   VC  0.5 VC0.5
      2  11.5   VC  0.5 VC0.5
      3   7.3   VC  0.5 VC0.5
      4   5.8   VC  0.5 VC0.5
      5   6.4   VC  0.5 VC0.5
      6  10.0   VC  0.5 VC0.5
      7  11.2   VC  0.5 VC0.5
      8  11.2   VC  0.5 VC0.5
      9   5.2   VC  0.5 VC0.5
      10  7.0   VC  0.5 VC0.5
      11 16.5   VC  1.0   VC1
      12 16.5   VC  1.0   VC1
      13 15.2   VC  1.0   VC1
      14 17.3   VC  1.0   VC1
      15 22.5   VC  1.0   VC1
      16 17.3   VC  1.0   VC1
      17 13.6   VC  1.0   VC1
      18 14.5   VC  1.0   VC1
      19 18.8   VC  1.0   VC1
      20 15.5   VC  1.0   VC1
      21 23.6   VC  2.0   VC2
      22 18.5   VC  2.0   VC2
      23 33.9   VC  2.0   VC2
      24 25.5   VC  2.0   VC2
      25 26.4   VC  2.0   VC2
      26 32.5   VC  2.0   VC2
      27 26.7   VC  2.0   VC2
      28 21.5   VC  2.0   VC2
      29 23.3   VC  2.0   VC2
      30 29.5   VC  2.0   VC2
      31 15.2   OJ  0.5 OJ0.5
      32 21.5   OJ  0.5 OJ0.5
      33 17.6   OJ  0.5 OJ0.5
      34  9.7   OJ  0.5 OJ0.5
      35 14.5   OJ  0.5 OJ0.5
      36 10.0   OJ  0.5 OJ0.5
      37  8.2   OJ  0.5 OJ0.5
      38  9.4   OJ  0.5 OJ0.5
      39 16.5   OJ  0.5 OJ0.5
      40  9.7   OJ  0.5 OJ0.5
      41 19.7   OJ  1.0   OJ1
      42 23.3   OJ  1.0   OJ1
      43 23.6   OJ  1.0   OJ1
      44 26.4   OJ  1.0   OJ1
      45 20.0   OJ  1.0   OJ1
      46 25.2   OJ  1.0   OJ1
      47 25.8   OJ  1.0   OJ1
      48 21.2   OJ  1.0   OJ1
      49 14.5   OJ  1.0   OJ1
      50 27.3   OJ  1.0   OJ1
      51 25.5   OJ  2.0   OJ2
      52 26.4   OJ  2.0   OJ2
      53 22.4   OJ  2.0   OJ2
      54 24.5   OJ  2.0   OJ2
      55 24.8   OJ  2.0   OJ2
      56 30.9   OJ  2.0   OJ2
      57 26.4   OJ  2.0   OJ2
      58 27.3   OJ  2.0   OJ2
      59 29.4   OJ  2.0   OJ2
      60 23.0   OJ  2.0   OJ2
      
      (1) 操作の手順



      > c1 <- paste( x$supp, x$dose, step="" )
       # 表2の2つの文字列の変数x$suppとx$doseを変数c1として合成する
      > c1
       [1] "VC 0.5 " "VC 0.5 " "VC 0.5 " "VC 0.5 " "VC 0.5 " "VC 0.5 " "VC 0.5 " "VC 0.5 "
       [9] "VC 0.5 " "VC 0.5 " "VC 1 "   "VC 1 "   "VC 1 "   "VC 1 "   "VC 1 "   "VC 1 "  
      [17] "VC 1 "   "VC 1 "   "VC 1 "   "VC 1 "   "VC 2 "   "VC 2 "   "VC 2 "   "VC 2 "  
      [25] "VC 2 "   "VC 2 "   "VC 2 "   "VC 2 "   "VC 2 "   "VC 2 "   "OJ 0.5 " "OJ 0.5 "
      [33] "OJ 0.5 " "OJ 0.5 " "OJ 0.5 " "OJ 0.5 " "OJ 0.5 " "OJ 0.5 " "OJ 0.5 " "OJ 0.5 "
      [41] "OJ 1 "   "OJ 1 "   "OJ 1 "   "OJ 1 "   "OJ 1 "   "OJ 1 "   "OJ 1 "   "OJ 1 "  
      [49] "OJ 1 "   "OJ 1 "   "OJ 2 "   "OJ 2 "   "OJ 2 "   "OJ 2 "   "OJ 2 "   "OJ 2 "  
      [57] "OJ 2 "   "OJ 2 "   "OJ 2 "   "OJ 2 "  
      > c2 <- gsub( " ", "", c1 )
       # c1の文字列の変数から半角の空白をすべて除く
      > c2
       [1] "VC0.5" "VC0.5" "VC0.5" "VC0.5" "VC0.5" "VC0.5" "VC0.5" "VC0.5" "VC0.5" "VC0.5" "VC1"  
      [12] "VC1"   "VC1"   "VC1"   "VC1"   "VC1"   "VC1"   "VC1"   "VC1"   "VC1"   "VC2"   "VC2"  
      [23] "VC2"   "VC2"   "VC2"   "VC2"   "VC2"   "VC2"   "VC2"   "VC2"   "OJ0.5" "OJ0.5" "OJ0.5"
      [34] "OJ0.5" "OJ0.5" "OJ0.5" "OJ0.5" "OJ0.5" "OJ0.5" "OJ0.5" "OJ1"   "OJ1"   "OJ1"   "OJ1"  
      [45] "OJ1"   "OJ1"   "OJ1"   "OJ1"   "OJ1"   "OJ1"   "OJ2"   "OJ2"   "OJ2"   "OJ2"   "OJ2"  
      [56] "OJ2"   "OJ2"   "OJ2"   "OJ2"   "OJ2"  
      > y <- transform( x, C=c2 )
       # 合成した2つの文字列の変数を「C」の名前をつけ列に加える
      > y
          len supp dose     C
      1   4.2   VC  0.5 VC0.5
      2  11.5   VC  0.5 VC0.5
      3   7.3   VC  0.5 VC0.5
      4   5.8   VC  0.5 VC0.5
      5   6.4   VC  0.5 VC0.5
        ・・・・・・
      56 30.9   OJ  2.0   OJ2
      57 26.4   OJ  2.0   OJ2
      58 27.3   OJ  2.0   OJ2
      59 29.4   OJ  2.0   OJ2
      60 23.0   OJ  2.0   OJ2
      
      > str(y) # データ構造
      'data.frame':   60 obs. of  4 variables:
       $ len : num  4.2 11.5 7.3 5.8 6.4 10 11.2 11.2 5.2 7 ...
       $ supp: Factor w/ 2 levels "OJ","VC": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
       $ dose: Factor w/ 3 levels "0.5","1","2": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
       $ C   : Factor w/ 6 levels "OJ0.5","OJ1",..: 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 ...
      
      > boxplot ( y$len ~ y$C )
       # と記述し,Cの水準ごとの分布を観察できる箱ひげグラフを作成する.
      > plotMeans( y$len, y$C, error.bars="se") 
      



      1.  因子C=AXB,サプリメントの種類と量の組み合わせパタ−ンと歯の長さ


        (1) テューキー(Tukey HSD)の方法による多重比較

        Rの「コンソール」画面に,

        require(graphics) # グラフパッケージの読み込み

        TukeyHSD(aov ( len ~ C, data=y ), "C", ordered = TRUE) #  と記述し,テューキー(Tukey HSD)の方法で多重比較を行う.

        plot(TukeyHSD (aov ( len ~ C, data=y ), "C")) # Cの多重比較のグラフ作成

        > summary(aov ( len ~ C, data=y ) ) #一元配置の分散分析 
                    Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
        C            5 2740.10  548.02  41.557 < 2.2e-16 ***
        Residuals   54  712.11   13.19                      
        ---
        Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05
        
        > TukeyHSD(aov ( len ~ C, data=y ), "C", ordered = TRUE) 
          Tukey multiple comparisons of means
            95% family-wise confidence level
            factor levels have been ordered
        
        Fit: aov(formula = len ~ C, data = y)
        
        $C
                     diff        lwr       upr     p adj
        OJ0.5-VC0.5  5.25  0.4518762 10.048124 0.0242521
        VC1-VC0.5    8.79  3.9918762 13.588124 0.0000210
        OJ1-VC0.5   14.72  9.9218762 19.518124 0.0000000
        OJ2-VC0.5   18.08 13.2818762 22.878124 0.0000000
        VC2-VC0.5   18.16 13.3618762 22.958124 0.0000000
        VC1-OJ0.5    3.54 -1.2581238  8.338124 0.2640208
        OJ1-OJ0.5    9.47  4.6718762 14.268124 0.0000046
        OJ2-OJ0.5   12.83  8.0318762 17.628124 0.0000000
        VC2-OJ0.5   12.91  8.1118762 17.708124 0.0000000
        OJ1-VC1      5.93  1.1318762 10.728124 0.0073930
        OJ2-VC1      9.29  4.4918762 14.088124 0.0000069
        VC2-VC1      9.37  4.5718762 14.168124 0.0000058
        OJ2-OJ1      3.36 -1.4381238  8.158124 0.3187361
        VC2-OJ1      3.44 -1.3581238  8.238124 0.2936430
        VC2-OJ2      0.08 -4.7181238  4.878124 1.0000000
        
        > plot(TukeyHSD (aov ( len ~ C, data=y ), "C")) 
        


        分析結果

        p値(p adj)が0.05以下を探す.グラフでは0を含まないものが有意である.

        実験の組み合わせでモルモットの歯が長くなるのは,サプリメントの2mg量の時のオレンジジュースとビタミンCである.

        サプリメントの量 0.5〜1.0mgではオレンジジュースが効果的である.



        (2) ボンフェローニ(Bonferroni)法による多重比較

        Rの「コンソール」画面に,

        pairwise.t.test(y$len, y$C, p.adjust.method="bonferroni" )

        と記述し,Bonferroni法で多重比較を行う.

        > pairwise.t.test(y$len, y$C, p.adjust.method="bonferroni" )
        
                Pairwise comparisons using t tests with pooled SD 
        
        data:  y$len and y$C 
        
              OJ0.5   OJ1     OJ2     VC0.5   VC1    
        OJ1   4.8e-06 -       -       -       -      
        OJ2   2.1e-09 0.6503  -       -       -      
        VC0.5 0.0314  3.0e-11 2.0e-14 -       -      
        VC1   0.5048  0.0088  7.2e-06 2.2e-05 -      
        VC2   1.8e-09 0.5816  1.0000  1.7e-14 6.0e-06
        
        P value adjustment method: bonferroni 
        

        分析結果

        多重比較の帰無仮説は二群間の平均値には差が無いである.水準C1〜C6間で有意水準5%以下を探す.

        実験の範囲でモルモットの歯が長くなるのは,サプリメントの2mg量の時のオレンジジュースとビタミンCである.

        サプリメントの量 0.5〜1.0mgではオレンジジュースが効果的である.


        (3) Holm法による多重比較

        Rの「コンソール」画面に,

        pairwise.t.test(y$len, y$C, p.adjust.method="holm" )

        と記述し,holm法で多重比較を行う.

        > pairwise.t.test(y$len, y$C, p.adjust.method="holm" )
        
                Pairwise comparisons using t tests with pooled SD 
        
        data:  y$len and y$C 
        
              OJ0.5   OJ1     OJ2     VC0.5   VC1    
        OJ1   3.2e-06 -       -       -       -      
        OJ2   1.6e-09 0.1346  -       -       -      
        VC0.5 0.0105  2.6e-11 1.9e-14 -       -      
        VC1   0.1346  0.0035  3.8e-06 1.0e-05 -      
        VC2   1.4e-09 0.1346  0.9609  1.7e-14 3.6e-06
        
        P value adjustment method: holm 
        

        分析結果

        多重比較の帰無仮説は二群間の平均値には差が無いである.水準C1〜C6間で有意水準5%以下を探す.

        実験の範囲でモルモットの歯が長くなるのは,サプリメントの2mg量の時のオレンジジュースとビタミンCである.

        サプリメントの量 0.5〜1.0mgではオレンジジュースが効果的である.



    2. 交互作用検討のためのデータフレームの作成  NO.2 「 サプリメントの種類別の量の多重比較 」「 サプリメントの量別の種類の多重比較 」



      1. 方法NO.2-1/2 「 サプリメントの種類別の量の多重比較 」


        サプリメントの種類と量のどの組み合わせが歯の成長に効果的であるかを検討するために,二元配置の表2を一元配置の表6-1と表7-1に分割・変換する.


        表2 サプリメントの種類と与える量(mg)による
        モルモットの歯の成長 「アンスタック形式」


        因子A supp 水準A1
        VC(Vitamin C)
        水準A2
        OJ(orange juice)
        因子B
        dose
        水準B1
        0.5
        水準B2
        1.0
        水準B3
        2.0
        水準B1
        0.5
        水準B2
        1.0
        水準B3
        2.0
        len
        サンプル1
                   
        サンプル2            
        ・・・            
        サンプル10            
        表6-1  Vitamin C量(mg)と
        モルモットの歯の成長 「アンスタック形式」


        supp VC(Vitamin C)
        因子B
        dose
        水準B1
        0.5
        水準B2
        1.0
        水準B3
        2.0
        len
        サンプル1
             
        サンプル2      
        ・・・      
        サンプル10      



        表7-1 orange juice量(mg)と
        モルモットの歯の成長 「アンスタック形式」


        supp OJ(orange juice)
        因子B
        dose
        水準B1
        0.5
        水準B2
        1.0
        水準B3
        2.0
        len
        サンプル1
             
        サンプル2      
        ・・・      
        サンプル10      

        表6-2 Vitamin C
        量(mg)と
        モルモットの歯の成長
         「スタック形式」

            len supp dose
        1   4.2   VC  0.5
        2  11.5   VC  0.5
        3   7.3   VC  0.5
        4   5.8   VC  0.5
        5   6.4   VC  0.5
        6  10.0   VC  0.5
        7  11.2   VC  0.5
        8  11.2   VC  0.5
        9   5.2   VC  0.5
        10  7.0   VC  0.5
        11 16.5   VC  1.0
        12 16.5   VC  1.0
        13 15.2   VC  1.0
        14 17.3   VC  1.0
        15 22.5   VC  1.0
        16 17.3   VC  1.0
        17 13.6   VC  1.0
        18 14.5   VC  1.0
        19 18.8   VC  1.0
        20 15.5   VC  1.0
        21 23.6   VC  2.0
        22 18.5   VC  2.0
        23 33.9   VC  2.0
        24 25.5   VC  2.0
        25 26.4   VC  2.0
        26 32.5   VC  2.0
        27 26.7   VC  2.0
        28 21.5   VC  2.0
        29 23.3   VC  2.0
        30 29.5   VC  2.0
        
        表7-2 orange juice
        量(mg)と
        モルモットの歯の成長
        「スタック形式」

            len supp dose
        31 15.2   OJ  0.5
        32 21.5   OJ  0.5
        33 17.6   OJ  0.5
        34  9.7   OJ  0.5
        35 14.5   OJ  0.5
        36 10.0   OJ  0.5
        37  8.2   OJ  0.5
        38  9.4   OJ  0.5
        39 16.5   OJ  0.5
        40  9.7   OJ  0.5
        41 19.7   OJ  1.0
        42 23.3   OJ  1.0
        43 23.6   OJ  1.0
        44 26.4   OJ  1.0
        45 20.0   OJ  1.0
        46 25.2   OJ  1.0
        47 25.8   OJ  1.0
        48 21.2   OJ  1.0
        49 14.5   OJ  1.0
        50 27.3   OJ  1.0
        51 25.5   OJ  2.0
        52 26.4   OJ  2.0
        53 22.4   OJ  2.0
        54 24.5   OJ  2.0
        55 24.8   OJ  2.0
        56 30.9   OJ  2.0
        57 26.4   OJ  2.0
        58 27.3   OJ  2.0
        59 29.4   OJ  2.0
        60 23.0   OJ  2.0
        
        (1) 操作の手順



         # 表2の水準A1 VC(Vitamin C)変数だけのデータフレームy2を作成する
        > y2 <- subset ( x, supp=="VC" )
        > y2
            len supp dose
        1   4.2   VC  0.5
        2  11.5   VC  0.5
        3   7.3   VC  0.5
        4   5.8   VC  0.5
          ・・・・・
        27 26.7   VC  2.0
        28 21.5   VC  2.0
        29 23.3   VC  2.0
        30 29.5   VC  2.0
        
        y2$dose <- factor( y2$dose )
        
        > str(y2) # データ構造
        'data.frame':   30 obs. of  3 variables:
         $ len : num  4.2 11.5 7.3 5.8 6.4 10 11.2 11.2 5.2 7 ...
         $ supp: Factor w/ 2 levels "OJ","VC": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
         $ dose: Factor w/ 3 levels "0.5","1","2": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
        
        # boxplot ( y2$len ~ y2$dose ) # 箱ひげグラフ
        > plotMeans( y2$len, y2$dose, error.bars="se")# 平均値の推移図
        
         # 表2の水準A2 OJ(orange juice)変数だけのデータフレームy3を作成する
        > y3 <- subset ( x, supp=="OJ" )
        > y3
            len supp dose
        31 15.2   OJ  0.5
        32 21.5   OJ  0.5
        33 17.6   OJ  0.5
        34  9.7   OJ  0.5
          ・・・・・
        57 26.4   OJ  2.0
        58 27.3   OJ  2.0
        59 29.4   OJ  2.0
        60 23.0   OJ  2.0
        
        y3$dose <- factor( y3$dose )
        
        > str(y3) # データ構造
        > str(y3)
        'data.frame':   30 obs. of  3 variables:
         $ len : num  15.2 21.5 17.6 9.7 14.5 10 8.2 9.4 16.5 9.7 ...
         $ supp: Factor w/ 2 levels "OJ","VC": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
         $ dose: Factor w/ 3 levels "0.5","1","2": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
        
        # boxplot ( y3$len ~ y3$dose ) # 箱ひげグラフ
        > plotMeans( y3$len, y3$dose, error.bars="se")# 平均値の推移図
        
        




        1.  交互作用 因子A1水準(Vitamin C)でのサプリメントの量の効果


          (1) テューキー(Tukey HSD)の方法による多重比較

          Rの「コンソール」画面に,

          summary ( aov ( len ~ dose, data=y2 ) ) #  と記述し,一元配置の分散分析

          TukeyHSD(aov ( len ~ dose, data=y2 ), "dose", ordered = TRUE) #  と記述し,テューキー(Tukey HSD)の方法で多重比較を行う.

          > summary ( aov ( len ~ dose, data=y2 ) )
                      Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
          dose         2 1649.49  824.74  67.072 3.357e-11 ***
          Residuals   27  332.00   12.30                      
          ---
          Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
          
          > TukeyHSD(aov ( len ~ dose, data=y2 ), "dose", ordered = TRUE) 
            Tukey multiple comparisons of means
              95% family-wise confidence level
              factor levels have been ordered
          
          Fit: aov(formula = len ~ dose, data = y2)
          
          $dose
                 diff       lwr      upr    p adj
          1-0.5  8.79  4.901765 12.67824 1.75e-05
          2-0.5 18.16 14.271765 22.04824 0.00e+00
          2-1    9.37  5.481765 13.25824 6.60e-06
          

          分析結果

          p値(p adj)が0.05以下を探す.0.5mg<1mg<2mg

          ビタミンCでモルモットの歯が長くなるのは,サプリメントの2mg量である.



        2.  交互作用 因子A2水準((orange juice)でのサプリメントの量の効果


          (1) テューキー(Tukey HSD)の方法による多重比較

          Rの「コンソール」画面に,

          summary ( aov ( len ~ dose, data=y3 ) ) #  と記述し,一元配置の分散分析

          TukeyHSD(aov ( len ~ dose, data=y3 ), "dose", ordered = TRUE) #  と記述し,テューキー(Tukey HSD)の方法で多重比較を行う.

          > summary ( aov ( len ~ dose, data=y3 ) )
                      Df Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
          dose         2 885.26  442.63  31.442 8.887e-08 ***
          Residuals   27 380.11   14.08                      
          ---
          Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
          > 
          > TukeyHSD(aov ( len ~ dose, data=y3 ), "dose", ordered = TRUE) 
            Tukey multiple comparisons of means
              95% family-wise confidence level
              factor levels have been ordered
          
          Fit: aov(formula = len ~ dose, data = y3)
          
          $dose
                 diff        lwr       upr     p adj
          1-0.5  9.47  5.3096046 13.630395 0.0000158
          2-0.5 12.83  8.6696046 16.990395 0.0000001
          2-1    3.36 -0.8003954  7.520395 0.1309258
          

          分析結果

          p値(p adj)が0.05以下を探す.0.5mg<1mg,2mg

          オレンジジュースでモルモットの歯が長くなるのは,サプリメントの1〜2mg量である.



        3.  まとめ


          (1) サプリメントビタミンCでは,歯に与える影響は0.5mg<1mg<2mgの順に大きい.

          (2) サプリメントオレンジジュースでは,歯に与える影響は0.5mg<1mg,2mgの順に大きい

          (3) 実験の範囲でモルモットの歯が長くなるのは,サプリメントの2mg量の時のオレンジジュースとビタミンCである.

          (4) サプリメントの量 0.5〜1.0mgではオレンジジュースが効果的であるとは言えない.これを言うためには次節のdoseの水準ごとの同様な検討が必要になる.



      2. 方法NO.2-2/2 「 サプリメントの量別の種類の多重比較 」


        サプリメントの種類と量のどの組み合わせが歯の成長に効果的であるかを検討するために,二元配置の表2を一元配置の表8-1と表9-1と表10-1に分割・変換する.


        表1 サプリメントの種類と与える量(mg)によるモルモットの歯の成長
         測定のくり返しは10回「アンスタック形式」

         
        因子A supp
        水準A1 VC
        (Vitamin C)
        水準A2 OJ
        (orange juice)


        B
         
        d
        o
        s
        e
        水準B1 0.5 実験1
        10例
        実験2
        10例
        水準B2 1.0 実験3
        10例
        実験4
        10例
        水準B3 2.0 実験5
        10例
        実験6
        10例
        表8-1 量(0.5mg)のサプリメントの種類と
        モルモットの歯の成長「アンスタック形式」


         
        因子A supp
        水準A1 VC
        (Vitamin C)
        水準A2 OJ
        (orange juice)


        B
        水準B1 0.5 実験1
        10例
        実験2
        10例


        表9-1 量(1.0mg)のサプリメントの種類と
        モルモットの歯の成長「アンスタック形式」


         
        因子A supp
        水準A1 VC
        (Vitamin C)
        水準A2 OJ
        (orange juice)


        B
        水準B2 1.0 実験3
        10例
        実験4
        10例


        表10-1 量(2.0mg)のサプリメントの種類と
        モルモットの歯の成長「アンスタック形式」


         
        因子A supp
        水準A1 VC
        (Vitamin C)
        水準A2 OJ
        (orange juice)


        B
        水準B3 2.0 実験5
        10例
        実験6
        10例

        表8-2 量(0.5mg)の
        サプリメントの種類と
        モルモットの歯の成長
         「スタック形式」

            len supp dose
        1   4.2   VC  0.5
        2  11.5   VC  0.5
        3   7.3   VC  0.5
        4   5.8   VC  0.5
        5   6.4   VC  0.5
        6  10.0   VC  0.5
        7  11.2   VC  0.5
        8  11.2   VC  0.5
        9   5.2   VC  0.5
        10  7.0   VC  0.5
        31 15.2   OJ  0.5
        32 21.5   OJ  0.5
        33 17.6   OJ  0.5
        34  9.7   OJ  0.5
        35 14.5   OJ  0.5
        36 10.0   OJ  0.5
        37  8.2   OJ  0.5
        38  9.4   OJ  0.5
        39 16.5   OJ  0.5
        40  9.7   OJ  0.5
        


        表9-2 量(1mg)の
        サプリメントの種類と
        モルモットの歯の成長
         「スタック形式」

            len supp dose
        11 16.5   VC    1
        12 16.5   VC    1
        13 15.2   VC    1
        14 17.3   VC    1
        15 22.5   VC    1
        16 17.3   VC    1
        17 13.6   VC    1
        18 14.5   VC    1
        19 18.8   VC    1
        20 15.5   VC    1
        41 19.7   OJ    1
        42 23.3   OJ    1
        43 23.6   OJ    1
        44 26.4   OJ    1
        45 20.0   OJ    1
        46 25.2   OJ    1
        47 25.8   OJ    1
        48 21.2   OJ    1
        49 14.5   OJ    1
        50 27.3   OJ    1
        


        表10-2 量(2mg)の
        サプリメントの種類と
        モルモットの歯の成長
         「スタック形式」

            len supp dose
        21 23.6   VC    2
        22 18.5   VC    2
        23 33.9   VC    2
        24 25.5   VC    2
        25 26.4   VC    2
        26 32.5   VC    2
        27 26.7   VC    2
        28 21.5   VC    2
        29 23.3   VC    2
        30 29.5   VC    2
        51 25.5   OJ    2
        52 26.4   OJ    2
        53 22.4   OJ    2
        54 24.5   OJ    2
        55 24.8   OJ    2
        56 30.9   OJ    2
        57 26.4   OJ    2
        58 27.3   OJ    2
        59 29.4   OJ    2
        60 23.0   OJ    2
        
        (1) 操作の手順


         # 表2の水準B1 dode 0.5mg変数だけのデータフレームy4・表8-2を作成する
        > y4 <- subset ( x, dose=="0.5" )
        > y4
            len supp dose
        1   4.2   VC  0.5
        2  11.5   VC  0.5
        3   7.3   VC  0.5
        4   5.8   VC  0.5
          ・・・・・
        37  8.2   OJ  0.5
        38  9.4   OJ  0.5
        39 16.5   OJ  0.5
        40  9.7   OJ  0.5
        
        y4$dose <- factor( y4$dose )
        
        > str(y4) # データ構造
        'data.frame':   20 obs. of  3 variables:
         $ len : num  4.2 11.5 7.3 5.8 6.4 10 11.2 11.2 5.2 7 ...
         $ supp: Factor w/ 2 levels "OJ","VC": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
         $ dose: Factor w/ 3 levels "0.5","1","2": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
        
        # boxplot ( y4$len ~ y4$supp ) # 箱ひげグラフ
        > plotMeans( y4$len, y4$supp, error.bars="se")# 平均値の推移図
        
         # 表2の水準B2 dode 1.0mg変数だけのデータフレームy5・表9-2を作成する
        > y5 <- subset ( x, dose=="1" )
        > y5
            len supp dose
        11 16.5   VC    1
        12 16.5   VC    1
        13 15.2   VC    1
        14 17.3   VC    1
          ・・・・・
        47 25.8   OJ    1
        48 21.2   OJ    1
        49 14.5   OJ    1
        50 27.3   OJ    1
        
        y5$dose <- factor( y4$dose )
        
        > str(y5) # データ構造
        'data.frame':   20 obs. of  3 variables:
         $ len : num  16.5 16.5 15.2 17.3 22.5 17.3 13.6 14.5 18.8 15.5 ...
         $ supp: Factor w/ 2 levels "OJ","VC": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
         $ dose: Factor w/ 3 levels "0.5","1","2": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
        
        # boxplot ( y5$len ~ y5$supp ) # 箱ひげグラフ
        > plotMeans( y5$len, y5$supp, error.bars="se")# 平均値の推移図
        
         # 表2の水準B3 dode 2.0mg変数だけのデータフレームy6・表10-2を作成する
        > y6 <- subset ( x, dose=="2" )
        > y6
            len supp dose
        21 23.6   VC    2
        22 18.5   VC    2
        23 33.9   VC    2
        24 25.5   VC    2
          ・・・・・
        57 26.4   OJ    2
        58 27.3   OJ    2
        59 29.4   OJ    2
        60 23.0   OJ    2
        
        y6$dose <- factor( y6$dose )
        
        > str(y6) # データ構造
        'data.frame':   20 obs. of  3 variables:
         $ len : num  23.6 18.5 33.9 25.5 26.4 32.5 26.7 21.5 23.3 29.5 ...
         $ supp: Factor w/ 2 levels "OJ","VC": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
         $ dose: Factor w/ 3 levels "0.5","1","2": 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 ...
        
        # boxplot ( y6$len ~ y6$supp ) # 箱ひげグラフ
        > plotMeans( y6$len, y6$supp, error.bars="se")# 平均値の推移図
        
        


        1. 交互作用 因子B1水準(0.5mg)でのサプリメントの種類の効果


          (1) テューキー(Tukey HSD)の方法による多重比較

          Rの「コンソール」画面に,

          summary ( aov ( len ~ supp, data=y4 ) ) #  と記述し,一元配置の分散分析

          TukeyHSD(aov ( len ~ supp, data=y4 ), "supp", ordered = TRUE) #  と記述し,テューキー(Tukey HSD)の方法で多重比較を行う.

          > summary ( aov ( len ~ supp, data=y4 ) )
                      Df  Sum Sq Mean Sq F value   Pr(>F)   
          supp         1 137.813 137.813  10.047 0.005304 **
          Residuals   18 246.897  13.717                    
          ---
          Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
          > TukeyHSD(aov ( len ~ supp, data=y4 ), "supp", ordered = TRUE) 
            Tukey multiple comparisons of means
              95% family-wise confidence level
              factor levels have been ordered
          
          Fit: aov(formula = len ~ supp, data = y4)
          
          $supp
                diff      lwr      upr     p adj
          OJ-VC 5.25 1.770262 8.729738 0.0053037
          

          分析結果

          p値(p adj)が0.05以下を探す.ある.

          0.5mgの量ではサプリメントの種類による平均値の差があり,OJ>VC.



        2. 交互作用 因子B2水準((1mg)でのサプリメントの種類の効果


          (1) テューキー(Tukey HSD)の方法による多重比較

          Rの「コンソール」画面に,

          summary ( aov ( len ~ supp, data=y5 ) ) #  と記述し,一元配置の分散分析

          TukeyHSD(aov ( len ~ supp, data=y5 ), "supp", ordered = TRUE) #  と記述し,テューキー(Tukey HSD)の方法で多重比較を行う.

          > summary ( aov ( len ~ supp, data=y5 ) )
                      Df  Sum Sq Mean Sq F value    Pr(>F)    
          supp         1 175.825 175.825  16.263 0.0007807 ***
          Residuals   18 194.601  10.811                      
          ---
          Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 
          
          > TukeyHSD(aov ( len ~ supp, data=y5 ), "supp", ordered = TRUE)
            Tukey multiple comparisons of means
              95% family-wise confidence level
              factor levels have been ordered
          
          Fit: aov(formula = len ~ supp, data = y5)
          
          $supp
                diff      lwr      upr     p adj
          OJ-VC 5.93 2.840692 9.019308 0.0007807
          

          分析結果

          p値(p adj)が0.05以下を探す.ある.

          1mgの量ではサプリメントの種類による平均値の差があり,OJ>VC.



        3. 交互作用 因子B3水準(2mg)でのサプリメントの種類の効果


          (1) テューキー(Tukey HSD)の方法による多重比較

          Rの「コンソール」画面に,

          summary ( aov ( len ~ supp, data=y6 ) ) #  と記述し,一元配置の分散分析

          TukeyHSD(aov ( len ~ supp, data=y6 ), "supp", ordered = TRUE) #  と記述し,テューキー(Tukey HSD)の方法で多重比較を行う.

          > summary ( aov ( len ~ supp, data=y6 ) )
                      Df  Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F)
          supp         1   0.032   0.032  0.0021 0.9637
          Residuals   18 270.608  15.034               
          
          > TukeyHSD(aov ( len ~ supp, data=y6 ), "supp", ordered = TRUE)
            Tukey multiple comparisons of means
              95% family-wise confidence level
              factor levels have been ordered
          
          Fit: aov(formula = len ~ supp, data = y6)
          
          $supp
                diff       lwr      upr     p adj
          VC-OJ 0.08 -3.562998 3.722998 0.9637098
          

          分析結果

          p値(p adj)が0.05以下を探す.ない.

          2mgの量ではサプリメントの種類による平均値の差はなかった.



        4. 方法No2  多重比較のまとめ


          (1) 0.5mgではOJ>VC.

          (2) 1mgではOJ>VC.

          (3) 2mgではOJとVCには差がなかった.

          (4) サプリメントの量 0.5〜1.0mgではオレンジジュースが効果的である.2mgではオレンジジュースとビタミンCに差がなかった.

くり返しのある二元配置分散分析 (交互作用あり・対応なしX対応なし・標本数は同じ)     [ 目次に戻る ]