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触媒3種類,触媒使用量3種類,反応温度3種類での収量分析: 三元配置の分散分析と多重比較

(対応なしXなしXなし・標本数が同じ) (多重比較・交互作用あり)


  1. 「対応なしXなしXなし・標本数が同じ」場合の課題

    「対応なしXなしXなし・標本数が同じ」三元配置のデータを分散分析することは,

    総変動から,因子(要因)A,因子(要因)B,因(要因)子C,2因子(要因)間の交互作用AXB,AXC,BXCによる変動,

    さらに,3因子(要因)間の交互作用AXBXCによる変動,誤差変動を分離して,測定値への影響を検討することである.



    作業を改善するために3因子(要因),3種類の触媒と3種類の触媒使用量と3種類の反応温度の3X3X3の組み合わせで2回繰り返し実験し収量(kg)を検討した.

    この結果,表1の収量のデータを得た.

    3種類の触媒間で収量に差があるか,3種類の触媒使用量間で収量に差があるか,また,3種類の反応温度間で収量に差があるか,

    触媒と触媒使用量の交互作用があるか,触媒と反応温度の交互作用があるか,触媒使用量と反応温度の交互作用があるか,

    さらに触媒と触媒使用量と反応温度の交互作用があるか,有意水準5%で検討する.



    表1 触媒3種類,触媒使用量3種類,反応温度3種類での収量kg

    工業関係の分散分析法の解説は,「分散分析法入門,石川馨,米山高範,日科技連出版社,1967.」が詳しい.表1のデータはp124.

    因子 A
    (触媒)
    水準A1 水準A2 水準A3
    因子 B
    (触媒使用量)
    水準B1
    (1g)
    水準B2
    (2g)
    水準B3
    (3g)
    水準B1
    (1g)
    水準B2
    (2g)
    水準B3
    (3g)
    水準B1
    (1g)
    水準B2
    (2g)
    水準B3
    (3g)


    C




    水準 C1
    (100゜C)
    15.3
    15.4
    14.8
    15.0
    15.1
    14.9
    15.1
    15.1
    14.4
    14.5
    14.5
    14.3
    15.2
    15.3
    14.6
    14.8
    14.6
    14.9
    水準 C2
    (120゜C)
    15.6
    15.5
    15.1
    14.9
    14.7
    14.8
    15.4
    15.4
    15.0
    14.8
    14.4
    14.4
    15.1
    15.3
    14.7
    14.8
    14.6
    14.5
    水準 C3
    (140゜C)
    15.6
    15.6
    15.3
    15.1
    15.0
    15.0
    15.3
    15.4
    14.8
    14.4
    14.0
    14.2
    15.4
    15.2
    14.6
    14.9
    14.9
    14.8

    同一条件の実験を繰り返す回数は2回である.



    表2 触媒3種類,触媒使用量3種類,反応温度3種類での収量kg

    触媒 A1 A2 A3
    使用量 1g 2g 3g 1g 2g 3g 1g 2g 3g
    反応
    温度
    100
    ゜C
    120
    ゜C
    140
    ゜C
    100
    ゜C
    120
    ゜C
    140
    ゜C
    100
    ゜C
    120
    ゜C
    140
    ゜C
    100
    ゜C
    120
    ゜C
    140
    ゜C
    100
    ゜C
    120
    ゜C
    140
    ゜C
    100
    ゜C
    120
    ゜C
    140
    ゜C
    100
    ゜C
    120
    ゜C
    140
    ゜C
    100
    ゜C
    120
    ゜C
    140
    ゜C
    100
    ゜C
    120
    ゜C
    140
    ゜C
    収量
    サンプル
    1
    15.3 15.6 15.6 14.8 15.1 15.3 15.1 14.7 15.0 15.1 15.4 15.3 14.4 15.0 14.8 14.5 14.4 14.0 15.2 15.1 15.4 14.6 14.7 14.6 14.6 14.6 14.9
    収量
    サンプル
    2
    15.4 15.5 15.6 15.0 14.9 15.1 14.9 14.8 15.0 15.1 15.4 15.4 14.5 14.8 14.4 14.3 14.4 14.2 15.3 15.3 15.2 14.8 14.8 14.9 14.9 14.5 14.8

    同一条件の実験を繰り返す回数は2回である.


    表3 触媒3種類,触媒使用量3種類,反応温度3種類での収量kg

      因子A 因子B 因子C 測定値
    繰り返し 触媒 触媒使用量 反応温度 収量
    サンプル1 A1 1g 100゜C 15.3
    サンプル1 A1 1g 120゜C 15.6
    サンプル1 A1 1g 140゜C 15.6
    サンプル1 A1 2g 100゜C 14.8
    サンプル1 A1 2g 120゜C 15.1
    サンプル1 A1 2g 140゜C 15.3
    サンプル1 A1 3g 100゜C 15.1
    サンプル1 A1 3g 120゜C 14.7
    サンプル1 A1 3g 140゜C 15.0
    サンプル1 A2 1g 100゜C 15.1
    サンプル1 A2 1g 120゜C 15.4
    サンプル1 A2 1g 140゜C 15.3
    サンプル1 A2 2g 100゜C 14.4
    サンプル1 A2 2g 120゜C 15.0
    サンプル1 A2 2g 140゜C 14.8
    サンプル1 A2 3g 100゜C 14.5
    サンプル1 A2 3g 120゜C 14.4
    サンプル1 A2 3g 140゜C 14.0
    サンプル1 A3 1g 100゜C 15.2
    サンプル1 A3 1g 120゜C 15.1
    サンプル1 A3 1g 140゜C 15.4
    サンプル1 A3 2g 100゜C 14.6
    サンプル1 A3 2g 120゜C 14.7
    サンプル1 A3 2g 140゜C 14.6
    サンプル1 A3 3g 100゜C 14.6
    サンプル1 A3 3g 120゜C 14.6
    サンプル1 A3 3g 140゜C 14.9
    サンプル2 A1 1g 100゜C 15.4
    サンプル2 A1 1g 120゜C 15.5
    サンプル2 A1 1g 140゜C 15.6
    サンプル2 A1 2g 100゜C 15.0
    サンプル2 A1 2g 120゜C 14.9
    サンプル2 A1 2g 140゜C 15.1
    サンプル2 A1 3g 100゜C 14.9
    サンプル2 A1 3g 120゜C 14.8
    サンプル2 A1 3g 140゜C 15.0
    サンプル2 A2 1g 100゜C 15.1
    サンプル2 A2 1g 120゜C 15.4
    サンプル2 A2 1g 140゜C 15.4
    サンプル2 A2 2g 100゜C 14.5
    サンプル2 A2 2g 120゜C 14.8
    サンプル2 A2 2g 140゜C 14.4
    サンプル2 A2 3g 100゜C 14.3
    サンプル2 A2 3g 120゜C 14.4
    サンプル2 A2 3g 140゜C 14.2
    サンプル2 A3 1g 100゜C 15.3
    サンプル2 A3 1g 120゜C 15.3
    サンプル2 A3 1g 140゜C 15.2
    サンプル2 A3 2g 100゜C 14.8
    サンプル2 A3 2g 120゜C 14.8
    サンプル2 A3 2g 140゜C 14.9
    サンプル2 A3 3g 100゜C 14.9
    サンプル2 A3 3g 120゜C 14.5
    サンプル2 A3 3g 140゜C 14.8

    変数の「触媒の種類,触媒使用量,反応温度」のデータ形式はfactorである.

         表4 触媒3種類,触媒使用量3種類,反応温度3種類での収量kg
       「スタック形式」


    触媒 触媒使用量 反応温度 収量
    A1 1g 100゜C 15.3
    A1 1g 120゜C 15.6
    A1 1g 140゜C 15.6
    A1 2g 100゜C 14.8
    A1 2g 120゜C 15.1
    A1 2g 140゜C 15.3
    A1 3g 100゜C 15.1
    A1 3g 120゜C 14.7
    A1 3g 140゜C 15.0
    A2 1g 100゜C 15.1
    A2 1g 120゜C 15.4
    A2 1g 140゜C 15.3
    A2 2g 100゜C 14.4
    A2 2g 120゜C 15.0
    A2 2g 140゜C 14.8
    A2 3g 100゜C 14.5
    A2 3g 120゜C 14.4
    A2 3g 140゜C 14.0
    A3 1g 100゜C 15.2
    A3 1g 120゜C 15.1
    A3 1g 140゜C 15.4
    A3 2g 100゜C 14.6
    A3 2g 120゜C 14.7
    A3 2g 140゜C 14.6
    A3 3g 100゜C 14.6
    A3 3g 120゜C 14.6
    A3 3g 140゜C 14.9
    A1 1g 100゜C 15.4
    A1 1g 120゜C 15.5
    A1 1g 140゜C 15.6
    A1 2g 100゜C 15.0
    A1 2g 120゜C 14.9
    A1 2g 140゜C 15.1
    A1 3g 100゜C 14.9
    A1 3g 120゜C 14.8
    A1 3g 140゜C 15.0
    A2 1g 100゜C 15.1
    A2 1g 120゜C 15.4
    A2 1g 140゜C 15.4
    A2 2g 100゜C 14.5
    A2 2g 120゜C 14.8
    A2 2g 140゜C 14.4
    A2 3g 100゜C 14.3
    A2 3g 120゜C 14.4
    A2 3g 140゜C 14.2
    A3 1g 100゜C 15.3
    A3 1g 120゜C 15.3
    A3 1g 140゜C 15.2
    A3 2g 100゜C 14.8
    A3 2g 120゜C 14.8
    A3 2g 140゜C 14.9
    A3 3g 100゜C 14.9
    A3 3g 120゜C 14.5
    A3 3g 140゜C 14.8

    変数の「触媒,触媒使用量,反応温度」のデータ形式はfactorである.

  2. Rに「スタック形式」のデータを読み込み,データの確認を行う


    (1) 「スタック形式」での操作の手順

    
    > x <- read.table ("clipboard", header=TRUE )
    > x 
       触媒 触媒使用量 反応温度 収量
    1    A1         1g   100゜C 15.3
    2    A1         1g   120゜C 15.6
    3    A1         1g   140゜C 15.6
    4    A1         2g   100゜C 14.8
    5    A1         2g   120゜C 15.1
        ・・・・・・・・・・・・
    51   A3         2g   140゜C 14.9
    52   A3         3g   100゜C 14.9
    53   A3         3g   120゜C 14.5
    54   A3         3g   140゜C 14.8
    
    > str (x) 
    'data.frame':   54 obs. of  4 variables:
     $ 触媒      : Factor w/ 3 levels "A1","A2","A3": 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 ...
     $ 触媒使用量: Factor w/ 3 levels "1g","2g","3g": 1 1 1 2 2 2 3 3 3 1 ...
     $ 反応温度  : Factor w/ 3 levels "100゜C","120゜C",..: 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 ...
     $ 収量      : num  15.3 15.6 15.6 14.8 15.1 15.3 15.1 14.7 15 15.1 ...
    


    (2) データフレームの読み込み

    ここでは,表シートあるいはエクセルの表計算シートからクリップボード経由で読み込む操作を行う.

    表4  触媒3種類,触媒使用量3種類,反応温度3種類での収量kg「スタック形式」の緑の部分をマウスで選択し,これをコピーする.

    次に,Rの「コンソール」画面に,

    x <- read.table ("clipboard", header=TRUE # と記述し,コピーした[clipboard]データファイルを,Rの内部のデータフレーム,ファイル名x に直接読み込む.

    header=TRUE は第1行が列の変数名になっていることを指示している.

    ) #    データをコピーした後で,カッコを入力する.ENTERーキーを押す.


    (3) 読み込んだデータフレームの確認

    x #     と記述し,Rの内部に作成したデータフレーム x を,表示し確認する.


    (4) データフレームの構造確認

    str (x) #  と記述し,Rの内部のデータフレーム x の3変数の内容を表示確認する.

    Rが理解した,サンプル・分析値・水準の3変数名のリストと変数ごとのカテゴリの数とカテゴリ名が示される.

    ・分析で使用する変数名とカテゴリ名はRが理解した名前を使用する.


    注意: 因子の触媒と反応温度と触媒使用量のデータ形式が数値で [Factor] 形式でないときは,

    x$触媒 <- factor( x$触媒 )

    x$触媒使用量 <- factor( x$触媒使用量 )

    x$反応温度 <- factor( x$反応温度 ) # と記述し,データフレームの水準の変数を[Facter]形式に変更する.



  3. 1因子ごとの基礎統計


    a. 因子ABC別の基礎統計量

    Rの「コンソール」画面に,

    by ( x$収量, x$触媒, summary)

    by ( x$収量, x$触媒使用量, summary)

    by ( x$収量, x$反応温度, summary) #   と記述し,「スタック形式」のデータで,群別の基礎統計利用を計算する.


    b. 因子ABC別の平均値の推移図    # plotMeans関数を使用するにはパッケージ 「Rcmdr」を読み込んでおくこと

    まず1因子ごとに「平均値の推移図」を作成する.

    plotMeans(x$収量, x$触媒, error.bars="se")

    plotMeans(x$収量, x$触媒使用量, error.bars="se")

    plotMeans(x$収量, x$反応温度, error.bars="se")
    #    と記述し,因子と収量の関係を平均値の推移図に表示する.


    c. グラフの観察

    触媒使用量そして触媒の種類が収量に影響を与えていることが観察される.反応温度は収量に影響を与えていないようである.




  4. 2因子間の基礎統計 2因子間AXB,AXC,BXCの交互作用


    a. 2因子間AXB,AXC,BXCの平均値の推移図の作成    # plotMeans関数を使用するにはパッケージ 「Rcmdr」を読み込んでおくこと

    2因子の組み合わせごとに,測定値との関係を平均値の推移図に表示する.

    plotMeans( x$収量, x$触媒使用量, x$触媒, error.bars="se") # 触媒X触媒使用量のグラフ

    plotMeans( x$収量, x$反応温度, x$触媒, error.bars="se") # 触媒X反応温度のグラフ

    plotMeans( x$収量, x$触媒使用量, x$反応温度, error.bars="se") # 触媒使用量X反応温度のグラフ

    b. グラフの観察




  5. 3因子間の基礎統計 3因子間AXBXCの交互作用


    a. 3因子間AXBXCの平均値の推移図の作成

    3因子の組み合わせをを同時に見ることは困難なので,触媒の3水準別に2因子(触媒使用量・反応温度)の「平均値の推移図」を作成する.

    @ この前処理として,データフレームxよりA1,A2,A3の触媒の水準ごとにデータを抽出しデータフレームxA1,xA2,xA3を新たに作成する.

    # 新しいデータフレーム名 <- subset ( x, 抽出したい変数=="抽出したいカテゴリ" )

    xA1 <- subset ( x, 触媒=="A1" ) # 触媒A1群

    xA1 # 触媒 A1群の確認


    xA2 <- subset ( x, 触媒=="A2" ) # 触媒A2群

    xA2 # 触媒 A2群の確認


    xA3 <- subset ( x, 触媒=="A3" ) # 触媒A3群

    xA3 # 触媒 A2群の確認


    と記述する.この新たなデータフレーで平均値の推移図を作成する. plotMeans関数を使用するにはパッケージ 「Rcmdr」を読み込んでおくこと

    plotMeans( xA1$収量, xA1$反応温度, xA1$触媒使用量, main="触媒A1", error.bars="se" )
    plotMeans( xA2$収量, xA2$反応温度, xA2$触媒使用量, main="触媒A2", error.bars="se" )
    plotMeans( xA3$収量, xA3$反応温度, xA3$触媒使用量, main="触媒A3", error.bars="se" )

    plotMeans( xA1$収量, xA1$触媒使用量, xA1$反応温度, main="触媒A1", error.bars="se" ) # 軸を変えて表示
    plotMeans( xA2$収量, xA2$触媒使用量, xA2$反応温度, main="触媒A2", error.bars="se" ) # 軸を変えて表示
    plotMeans( xA3$収量, xA3$触媒使用量, xA3$反応温度, main="触媒A3", error.bars="se" ) # 軸を変えて表示



    
    
    > xA1 <- subset ( x, 触媒=="A1" )
    > xA1
       触媒 触媒使用量 反応温度 収量
    1    A1         1g   100゜C 15.3
    2    A1         1g   120゜C 15.6
    3    A1         1g   140゜C 15.6
    4    A1         2g   100゜C 14.8
    5    A1         2g   120゜C 15.1
    6    A1         2g   140゜C 15.3
    7    A1         3g   100゜C 15.1
    8    A1         3g   120゜C 14.7
    9    A1         3g   140゜C 15.0
    28   A1         1g   100゜C 15.4
    29   A1         1g   120゜C 15.5
    30   A1         1g   140゜C 15.6
    31   A1         2g   100゜C 15.0
    32   A1         2g   120゜C 14.9
    33   A1         2g   140゜C 15.1
    34   A1         3g   100゜C 14.9
    35   A1         3g   120゜C 14.8
    36   A1         3g   140゜C 15.0
    
    > xA2 <- subset ( x, 触媒=="A2" )
    > xA2
       触媒 触媒使用量 反応温度 収量
    10   A2         1g   100゜C 15.1
    11   A2         1g   120゜C 15.4
    12   A2         1g   140゜C 15.3
    13   A2         2g   100゜C 14.4
    14   A2         2g   120゜C 15.0
    15   A2         2g   140゜C 14.8
    16   A2         3g   100゜C 14.5
    17   A2         3g   120゜C 14.4
    18   A2         3g   140゜C 14.0
    37   A2         1g   100゜C 15.1
    38   A2         1g   120゜C 15.4
    39   A2         1g   140゜C 15.4
    40   A2         2g   100゜C 14.5
    41   A2         2g   120゜C 14.8
    42   A2         2g   140゜C 14.4
    43   A2         3g   100゜C 14.3
    44   A2         3g   120゜C 14.4
    45   A2         3g   140゜C 14.2
    
    > xA3 <- subset ( x, 触媒=="A3" )
    > xA3
       触媒 触媒使用量 反応温度 収量
    19   A3         1g   100゜C 15.2
    20   A3         1g   120゜C 15.1
    21   A3         1g   140゜C 15.4
    22   A3         2g   100゜C 14.6
    23   A3         2g   120゜C 14.7
    24   A3         2g   140゜C 14.6
    25   A3         3g   100゜C 14.6
    26   A3         3g   120゜C 14.6
    27   A3         3g   140゜C 14.9
    46   A3         1g   100゜C 15.3
    47   A3         1g   120゜C 15.3
    48   A3         1g   140゜C 15.2
    49   A3         2g   100゜C 14.8
    50   A3         2g   120゜C 14.8
    51   A3         2g   140゜C 14.9
    52   A3         3g   100゜C 14.9
    53   A3         3g   120゜C 14.5
    54   A3         3g   140゜C 14.8
    
    > plotMeans( xA1$収量, xA1$反応温度, xA1$触媒使用量, main="触媒A1", error.bars="se" ) > plotMeans( xA2$収量, xA2$反応温度, xA2$触媒使用量, main="触媒A2", error.bars="se" ) > plotMeans( xA3$収量, xA3$反応温度, xA3$触媒使用量, main="触媒A3", error.bars="se" ) > plotMeans( xA1$収量, xA1$触媒使用量, xA1$反応温度, main="触媒A1", error.bars="se" ) # 軸を変える > plotMeans( xA2$収量, xA2$触媒使用量, xA2$反応温度, main="触媒A2", error.bars="se" ) # 軸を変える > plotMeans( xA3$収量, xA3$触媒使用量, xA3$反応温度, main="触媒A3", error.bars="se" ) # 軸を変える






    A 同様に,反応温度の水準ごとに2因子(触媒・触媒使用量)の「平均値の推移図」を作成する.

    x100 <- subset ( x, 反応温度=="100゜C" )
    x100
    x120 <- subset ( x, 反応温度=="120゜C" )
    x120
    x140 <- subset ( x, 反応温度=="140゜C" )
    x140

    plotMeans( x100$収量, x100$触媒, x100$触媒使用量, main="反応温度100゜C", error.bars="se" )
    plotMeans( x120$収量, x120$触媒, x120$触媒使用量, main="反応温度120゜C", error.bars="se" )
    plotMeans( x140$収量, x140$触媒, x140$触媒使用量, main="反応温度140゜C", error.bars="se" )

    plotMeans( x100$収量, x100$触媒使用量, x100$触媒, main="反応温度100゜C", error.bars="se" ) # 軸を変える
    plotMeans( x120$収量, x120$触媒使用量, x120$触媒, main="反応温度120゜C", error.bars="se" ) # 軸を変える
    plotMeans( x140$収量, x140$触媒使用量, x140$触媒, main="反応温度140゜C", error.bars="se" ) # 軸を変える




    b. グラフの観察




  6.  バートレット(Bartlett)の検定--分散の等質性(等分散性)の検定


    分散分析は,分散が等しいという仮定の上で構築されているので標本の測定値にもとづいて分散が一様であるか検討する.

    ただし,分散分析のF検定はその前提条件が崩れても,検定結果は信頼できるといわれている.

    因子の各水準の分散が等しいか,あるいは等しくないかを検定する.各水準のデータの分散は等質であるとの帰無仮説を立てる.



  7. aov 関数による三因子とその交互作用の三元配置分散分析


    3種類の触媒間で収量に差があるか,3種類の触媒使用量間で収量に差があるか,また,3種類の反応温度間で収量に差があるか,

    触媒と触媒使用量の交互作用があるか,触媒と反応温度の交互作用があるか,触媒使用量と反応温度の交互作用があるか,有意水準5%で検討する.


    帰無仮説は「各水準の母集団の平均値は等しい」.

    対立仮説は,「全ての水準の組み合わせに平均値の差がある」のでなく,「各水準の少なくとも一組に平均値の差がある」.



    Rの「コンソール」画面に,

    summary(aov (収量 ~ 触媒*触媒使用量*反応温度, x ) ) #   と記述し,「スタック形式」のデータで,三元配置の分散分析を行う.

    summary(aov (x$収量 ~ x$触媒 * x$触媒使用量 * x$反応温度)) #   の記述も同じ結果になる.

    > summary(aov (収量 ~ 触媒*触媒使用量*反応温度, x ))
    
                             Df Sum Sq Mean Sq  F value    Pr(>F)    
    触媒                      2 1.5070  0.7535  49.0241 1.030e-09 ***
    触媒使用量                2 4.8381  2.4191 157.3855 1.312e-15 ***
    反応温度                  2 0.0848  0.0424   2.7590 0.0812318 .  
    触媒:触媒使用量           4 0.3896  0.0974   6.3373 0.0009893 ***
    触媒:反応温度             4 0.3130  0.0782   5.0904 0.0034509 ** 
    触媒使用量:反応温度       4 0.2352  0.0588   3.8253 0.0137172 *  
    触媒:触媒使用量:反応温度  8 0.1537  0.0192   1.2500 0.3095802    
    Residuals                27 0.4150  0.0154                       
    ---
    Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

    
    分散分析表が表示される.これを整形すると,以下のようになる.
    -------------------------------------------------------------------------          (変動) (不偏分散) (分散比) 変動因子 自由度 平方和 平均平方和 F値 P値 ------------------------------------------------------------------------- 触媒 2 1.5070 0.7535 49.0241 0.000 *** 触媒使用量 2 4.8381 2.4191 157.3855 0.000 *** 反応温度 2 0.0848 0.0424 2.7590 0.081 . 触媒X触媒使用量 4 0.3896 0.0974 6.3373 0.001 *** 触媒X反応温度 4 0.3130 0.0782 5.0904 0.003 ** 触媒使用量X反応温度 4 0.2352 0.0588 3.8253 0.014 * 触媒X触媒使用量X反応温度 8 0.1537 0.0192 1.2500 0.310 誤差 27 0.4150 0.0154 ------------------------------------------------------------------------- *** p<.001 ** p<.01 * p<.05
    分析結果

    有意水準5%で検定を行ったところ,

    (1) 交互作用の触媒X触媒使用量X反応温度はP値>.05であるから,帰無仮説を採択する.3因子の交互作用は考えられない.

    (2) 交互作用の触媒X触媒使用量,触媒X反応温度, 触媒使用量X反応温度はP値<.05であるから,帰無仮説は棄却し交互作用が考えられる.



  8. 交互作用のある場合の多重比較




    1. 触媒X触媒使用量,触媒使用量X反応温度そして触媒X触媒使用量X反応温度は交互作用がある.

    2. 分散分析では,触媒や触媒使用量のどの水準とどの水準に差があるかは,明らかにしてくれない.

      多重比較の事後検定(下位検定)を行う.すこし複雑である.




くり返しのある三元配置分散分析 (対応なしXなしXなし・標本数が同じ)     [ 目次に戻る ]